전자과의 꽃, ‘전자기학’을 펴면 가장 먼저 반겨주는 게 있다.
바로 ‘벡터’.
크게 어려운 개념은 아니지만, 이 개념을 머릿속으로 정확하게 그려낼 수 있어야
훗날 가우스 법칙과 맥스웰 방정식 등의 상위 개념을 학습할 때
각 개념이 뜻하는 게 무엇인지 명확히 보이게 된다.
그리하여 이번 Visualize는
‘벡터의 내적(Dot Product)’이다.
당신은 이미 ‘내적’을 알고 있다
모노레일 장난감을 떠올려보자.
바퀴가 레일을 감싸는 구조라,
앞뒤를 제외하고는 어떤 방향으로도 움직일 수 없다.
이 장난감에 끈을 달아 손으로 당긴다고 해보자.
끈을 수직으로 들어올리듯 당기면?
모노레일은 꿈쩍도 하지 않는다.
반대로 레일과 수평에 가깝게 당길수록,
힘이 그대로 전달되어 모노레일이 잘 움직인다.
물리법칙을 공부하지 않아도 경험상으로 이미 알고 있는 상식이다.
당기는 방향과 이동 방향이 일치할수록, 힘이 효율적으로 전달된다.
이게 바로 내적(Dot Product)이다.
벡터의 내적: 두 방향의 일치도
벡터의 내적(dot product, scalar product)
𝑎⃗⋅𝑏⃗=|𝑎⃗||𝑏⃗|cos𝜃
내적의 결과는 스칼라(Scalar)로, 방향 없는 크기 하나로 남는다.
a와 b의 절대값이 커질수록, 𝜃의 각도가 수평에 가까울수록 값이 커진다.
핵심은 cosθ다.
θ가 0°에 가까울수록(방향이 일치할수록) cosθ가 1에 가까워지고,
내적값이 최대가 된다.
반대로 θ가 90°에 가까울수록(수직) cosθ는 0에 가까워지고 내적값은 0이 된다.
아까 모노레일을 당겼을 때와 정확히 같다.
끈의 방향(𝑎⃗)과 레일의 방향(𝑏⃗)이 이루는 각도 θ에 따라,
전달되는 힘의 크기가 달라졌다.
그림자만 보세요
이 직관을 기하학적으로 가장 잘 설명하면서 실제로도 많이 사용하는 개념이 있다.
바로 ‘사영(Projection)’이다.
정오의 태양 아래, 바닥(𝑏⃗ 방향)에 막대(𝑎⃗)를 꽂아보자.
막대가 바닥과 수평에 가까울수록 그림자는 길어지고,
수직에 가까울수록 그림자는 짧아진다.
그림자의 길이는 |𝑎⃗|cosθ가 된다.
사영은 '𝑎⃗가 𝑏⃗ 방향으로 얼마만큼 닿아 있는가'를 보여주는 값이다.
내적은 여기서 𝑏⃗의 크기까지 곱한 값이다.
𝑎⃗⋅𝑏⃗ = |𝑎⃗|cosθ × |𝑏⃗|
그림자의 길이에 바닥의 크기를 곱한 것.
결국 내적은 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 기여하고 있는지를 나타낸다.
원하는 방향으로 얼마나 작용하는지 알고 싶다면
그렇다면 이 개념은 어디에 쓰이는가.
가장 직접적인 활용은 특정 방향의 성분(Component) 추출이다.
벡터 F가 있다고 해보자.
우리는 종종 벡터 전체가 아니라,
특정 방향으로 얼마나 작용하는지만 알고 싶을 때가 있다.
𝑙 방향으로 얼마나 작용하는지 알고 싶다면,
𝑙 방향의 단위벡터(Unit Vector) ℓ̂과 내적을 취하면 된다.
단위벡터는 크기가 1인 벡터이므로,
내적했을 때 해당 방향으로의 ‘그림자 길이’만 그대로 남게 된다.
이는 이전의 그림자 비유에서
막대(𝑎⃗)를 꽂은 바닥의 길이(|𝑏⃗|)를 1로 만든 것과 같다.
위 그림에서 벡터 F를 ℓ̂방향으로 사영하면,
그 그림자의 길이는 다음과 같다.
즉, 벡터 F가 𝑙 방향으로 얼마나 작용하고 있는지를 의미한다.
여기서
는 𝑙 방향 성분의 ‘크기(스칼라)’이다.
방향 정보가 없는 순수한 숫자값이다.
그리고 만약 그림의 빨간 화살표처럼
방향까지 포함한 실제 벡터 성분을 구하고 싶다면,
스칼라 성분 F에 방향 단위벡터 ℓ̂만 곱해주면 된다.
경험상으로 알고 있는 그것의 정체: 일(Work)
그렇다면 이제 벡터 내적의 정성적 의미,
즉 한 벡터가 다른 벡터 방향으로 얼마나 작용하는지를 이해한 것이다.
이 개념을 다시 아까 모노레일 장난감에 적용해보자.
끈을 당기는 힘을 벡터 F, 모노레일의 이동거리를 벡터 S로 보면,
물리학에서 가장 익숙한 식이 나온다.
수직(θ = 90°)으로 당기면 일은 0이다.
방향이 맞지 않으면, 힘은 제대로 전달되지 못한다.
물리학에서는 그 사실을 cosθ 하나로 표현한다.
눈으로 내적 확인해보기
지금까지 글로 설명한 것을 직접 조작해볼 수 있다.
아래 시뮬레이션에서 벡터 a를 드래그해서 길이와 각도를 바꿔보면서
그림자의 길이와 내적값이 함께 변하는 것을 확인해보자.
막대가 눕혀질수록 그림자가 길어지고, 내적값이 커지는 것이 보일 것이다.
수직에 가까워지면 그림자가 사라지고, 내적은 0이 된다.
내적이 0이라는 것의 의미
그렇다면 반대로,
내적값이 0이라는 것은 무엇을 의미할까?
한 벡터를 다른 벡터 방향으로 사영했을 때,
그림자가 완전히 사라진다는 뜻이다.
즉, 상대 방향으로 가지는 성분이 전혀 없는 상태다.
이를 수학에서는 ‘직교(Orthogonal)’라고 부른다.
이 ‘직교성(Orthogonality)’이라는 개념은
훗날 푸리에 급수(Fourier Series)와 같은 개념에서도 그대로 등장한다.
지금 당장은 몰라도 괜찮지만, 내적을 직관적으로 그릴 수 있다면
전혀 다른 맥락 위에서도 같은 직관으로 바라볼 수 있을 것이다.
내적은 “한 대상이 다른 대상 방향으로 얼마나 투영되는가”를 숫자 하나로 함축한다.
*본문의 일부 이미지는 AI를 활용해 생성되었습니다.